Saturday, 14 April 2018


E` possibile ordinare tutti i punti di uno spazio discreto ad infinite
dimensioni associando a ciascuno di essi un numero positivo (intero maggiore di
zero) che, in quanto tale, e` sempre un prodotto di fattori potenze di numeri
primi.
[It is possible to order all the points of an infinite-dimensional discrete
space by associating each of them with a positive number (integer greater than
zero) which, as such, is always a product of factors that are powers of primes.]

pn = 2^a * 3^b * 5^c * ... * 71^t * ... * 83^w * 89^x * 97^y * 101^z * ...

In tal caso la posizione di un qualsiasi punto P puo` essere rappresentata
usando gli esponenti di ogni potenza di numero primo come coordinate, in
quantita` potenzialmente infinita.
[In that case the position of any point P can be represented using the exponents
of each prime power as coordinates, of potentially infinite quantity.]

P(a,b,c,d,...) = pn

Adottando la convenzione di specificare solo le coordinate maggiori di zero ecco
come sono rappresentabili alcuni punti di un ipotetico "quadrante x y"...
[Adopting the convention of only specify the coordinates greater than zero some
points of a hypothetical "quadrant x y" are representable this way...]

A(...,x=4,y=7,...) = 89^4 * 97^7 = 5069465437112325071233
B(...,x=1,y=1,...) = 89 * 97 = 8633
C(...,x=4,y=1,...) = 89^4 * 97 = 6085997377

Ecco invece alcuni punti del "quadrante a d"...
[Rather here are some points of the "quadrant a d"...]

D(a=6,...,d=4,...) = 2^6 * 7^4 = 153664
E(a=1,...,d=1,...) = 2 * 7 = 14
F(a=2,...,d=3,...) = 2^2 * 7^3 = 1372

Per meglio distinguerli dai comuni quadranti del piano cartesiano questi vengono
detti quadranti pitagorici.
[To better distinguish them from the common quadrants of the Cartesian plane
these are named Pythagorean quadrants.]

y ^
  |
7 |           A
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |  B        C
  O------------------------->
     1  2  3  4  5  6  7    x

d ^
  |
7 |
6 |
5 |
4 |                 D
3 |     F
2 |
1 |  E
  O------------------------->
     1  2  3  4  5  6  7    a

In queste rappresentazioni il punto O corrisponde al numero uno, ossia...
[In these representations the point O corresponds to the number one, that is...]

O(...) = 2^0 * 3^0 * 5^0 * 7^0 * ... * 89^0 * 97^0 * ... = 1

          97^y ^
               |
80798284478113 |                                   A
  832972004929 |
    8587340257 |
      88529281 |
        912673 |
          9409 |
            97 |        B                          C
             1 O------------------------------------------------->
               1        89      7921    704969  62742241         89^x

 7^d ^
     |
2401 |                             D
 343 |         F
  49 |
   7 |    E
   1 O------------------------------------->
     1    2    4    8    16   32   64      2^a

E` detto semiasse pitagorico il luogo dei punti che hanno una sola medesima
coordinata maggiore di zero.
Un quadrante pitagorico e` quindi determinato da due soli semiassi pitagorici
distinti.
[The place of points having only one same coordinate greater than zero is called
Pythagorean semi-axis.
A Pythagorean quadrant is therefore just determined by two distinct Pythagorean
semi-axis.]

Ci si puo` riferire alle coordinate in vari modi; in questo testo viene usato
anche un modo indicizzato e si assume la seguente corrispondenza parziale...
[We can refer to the coordinates in various ways; in this text an indexed mode
is also used, assuming the following partial correspondence...]

Esponente per potenze di 2: e0 = a
[Exponent for powers of 2: e0 = a]

Esponente per potenze di 3: e1 = b
[Exponent for powers of 3: e1 = b]

Esponente per potenze di 5: e2 = c
[Exponent for powers of 5: e2 = c]

Esponente per potenze di 7: e3 = d
[Exponent for powers of 7: e3 = d]

...

Esponente per potenze di 71: e19 = t
[Exponent for powers of 71: e19 = t]

...

Esponente per potenze di 89: e23 = x
[Exponent for powers of 89: e23 = x]

Esponente per potenze di 97: e24 = y
[Exponent for powers of 97: e24 = y]

Esponente per potenze di 101: e25 = z
[Exponent for powers of 101: e25 = z]

Esponente per potenze di 103: e26
[Exponent for powers of 103: e26]

...

Esponente per potenze di 547: e100
[Exponent for powers of 547: e100]

...

Ne risulta...
[It turns out...]

A(...,e23=4,e24=7,...) = 89^4 * 97^7
B(...,e23=1,e24=1,...) = 89 * 97
C(...,e23=4,e24=1,...) = 89^4 * 97
D(e0=6,...,e3=4,...) = 2^6 * 7^4
E(e0=1,...,e3=1,...) = 2 * 7
F(e0=2,...,e3=3,...) = 2^2 * 7^3
O(...) = 1

Si definisce distanza fra due punti distinti la sequenza crescente dei numeri
positivi che rappresentano le differenze fra coordinate corrispondenti.
[We define the distance between two distinct points as the increasing sequence
of positive numbers representing the differences between corresponding
coordinates.]

d(B,A) = d(A,B) = (...,dx=4-1,dy=7-1,...) = (3,6)
d(C,A) = d(A,C) = (...,dx=4-4,dy=7-1,...) = (6)
d(D,A) = d(A,D) = (da=6-0,...,de3=4-0,...,dx=4-0,dy=7-0,...) = (4,4,6,7)
d(E,A) = d(A,E) = (da=1-0,...,de3=1-0,...,dx=4-0,dy=7-0,...) = (1,1,4,7)
d(F,A) = d(A,F) = (da=2-0,...,de3=3-0,...,dx=4-0,dy=7-0,...) = (2,3,4,7)
d(O,A) = d(A,O) = (...,dx=4-0,dy=7-0,...) = (4,7)
d(C,B) = d(B,C) = (...,dx=4-1,dy=1-1,...) = (3)
d(D,B) = d(B,D) = (da=6-0,...,de3=4-0,...,dx=1-0,dy=1-0,...) = (1,1,4,6)
d(E,B) = d(B,E) = (da=1-0,...,de3=1-0,...,dx=1-0,dy=1-0,...) = (1,1,1,1)
d(F,B) = d(B,F) = (da=2-0,...,de3=3-0,...,dx=1-0,dy=1-0,...) = (1,1,2,3)
d(O,B) = d(B,O) = (...,dx=1-0,dy=1-0,...) = (1,1)
d(D,C) = d(C,D) = (da=6-0,...,de3=4-0,...,dx=4-0,dy=1-0,...) = (1,4,4,6)
d(E,C) = d(C,E) = (da=1-0,...,de3=1-0,...,dx=4-0,dy=1-0,...) = (1,1,1,4)
d(F,C) = d(C,F) = (da=2-0,...,de3=3-0,...,dx=4-0,dy=1-0,...) = (1,2,3,4)
d(O,C) = d(C,O) = (...,dx=4-0,dy=1-0,...) = (1,4)
d(E,D) = d(D,E) = (da=6-1,...,de3=4-1,...) = (3,5)
d(F,D) = d(D,F) = (da=6-2,...,de3=4-3,...) = (1,4)
d(O,D) = d(D,O) = (da=6-0,...,de3=4-0,...) = (4,6)
d(F,E) = d(E,F) = (da=2-1,...,de3=3-1,...) = (1,2)
d(O,E) = d(E,O) = (da=1-0,...,de3=1-0,...) = (1,1)
d(O,F) = d(F,O) = (da=2-0,...,de3=3-0,...) = (2,3)

Si definisce distanza dimensionale fra due punti distinti la somma di tutti i
termini della loro distanza.
[We define the dimensional distance between two distinct points as the sum of
all the terms of their distance.]

dd(B,A) = dd(A,B) = 9
dd(C,A) = dd(A,C) = 6
dd(D,A) = dd(A,D) = 21
dd(E,A) = dd(A,E) = 13
dd(F,A) = dd(A,F) = 16
dd(O,A) = dd(A,O) = 11
dd(C,B) = dd(B,C) = 3
dd(D,B) = dd(B,D) = 12
dd(E,B) = dd(B,E) = 4
dd(F,B) = dd(B,F) = 7
dd(O,B) = dd(B,O) = 2
dd(D,C) = dd(C,D) = 15
dd(E,C) = dd(C,E) = 7
dd(F,C) = dd(C,F) = 10
dd(O,C) = dd(C,O) = 5
dd(E,D) = dd(D,E) = 8
dd(F,D) = dd(D,F) = 5
dd(O,D) = dd(D,O) = 10
dd(F,E) = dd(E,F) = 3
dd(O,E) = dd(E,O) = 2
dd(O,F) = dd(F,O) = 5

Si definisce distanza adimensionale fra due punti distinti il valore massimo
fra tutti i termini della loro distanza.
[We define the dimensionless distance between two distinct points as the maximum
value among all the terms of their distance.]

ad(B,A) = ad(A,B) = 6
ad(C,A) = ad(A,C) = 6
ad(D,A) = ad(A,D) = 7
ad(E,A) = ad(A,E) = 7
ad(F,A) = ad(A,F) = 7
ad(O,A) = ad(A,O) = 7
ad(C,B) = ad(B,C) = 3
ad(D,B) = ad(B,D) = 6
ad(E,B) = ad(B,E) = 1
ad(F,B) = ad(B,F) = 3
ad(O,B) = ad(B,O) = 1
ad(D,C) = ad(C,D) = 6
ad(E,C) = ad(C,E) = 4
ad(F,C) = ad(C,F) = 4
ad(O,C) = ad(C,O) = 4
ad(E,D) = ad(D,E) = 5
ad(F,D) = ad(D,F) = 4
ad(O,D) = ad(D,O) = 6
ad(F,E) = ad(E,F) = 2
ad(O,E) = ad(E,O) = 1
ad(O,F) = ad(F,O) = 3

Un punto viene qualificato adiacente ad un altro se la distanza adimensionale
fra i due vale uno.
[A point is qualified adjacent to another if the dimensionless distance between
the two is worth one.]

B e` adiacente ad E
[B is adjacent to E]

B e` adiacente ad O
[B is adjacent to O]

E e` adiacente ad O
[E is adjacent to O]

Un punto viene qualificato tangente ad un altro se la distanza dimensionale fra
i due vale uno.
Ne consegue che le coppie di punti reciprocamente tangenti sono anche coppie di
punti reciprocamente adiacenti.
[A point is qualified tangent to another if the dimensional distance between the
two is worth one.
It follows that the pairs of mutually tangent points are also pairs of mutually
adjacent points.]

d(8,16) = d(2^3,2^4) = (1)
dd(8,16) = 1
ad(8,16) = 1
8 e` tangente (e quindi adiacente) a 16
[8 is tangent (and therefore adjacent) to 16]

d(24,8) = d(2^3*3,2^3) = (1)
dd(24,8) = 1
ad(24,8) = 1
24 e` tangente (e quindi adiacente) a 8
[24 is tangent (and therefore adjacent) to 8]

d(16,24) = d(2^4,2^3*3) = (da=4-3,db=1-0,...) = (1,1)
dd(16,24) = 2
ad(16,24) = 1
16 e` adiacente a 24
[16 is adjacent to 24]

Per definizione fra due punti di un insieme finito di punti si verifica la
condizione di concatenamento se sono reciprocamente adiacenti o se fa parte
dello stesso insieme un terzo punto per il quale si verifica con entrambi la
condizione di concatenamento.
[By definition the condition of chaining occurs between two points of a finite
set of points if they are mutually adjacent or if a third point exists, in the
same set, for which the condition of chaining occurs with both.]

E` detto segmento qualsiasi insieme finito di punti per tutte le possibili
coppie dei quali si verifica la condizione di concatenamento.
Si definisce ampiezza del segmento la quantita` di punti che lo compongono.
[Any finite set of points, for all the possible pairs of which the chaining
condition occurs, is called segment.
We define the amplitude of the segment as the quantity of points composing it.]

Per esempio l'insieme di punti {B,E,O} rappresenta un segmento di ampiezza tre.
[For example, the set of points {B,E,O} represents a segment with amplitude
three.]

ad(B,E) = 1
ad(B,O) = 1
ad(E,O) = 1
sa(B,E,O) = 3

Mentre l'insieme di punti {B,E} rappresenta un segmento di ampiezza due.
[While the set of points {B,E} represents a segment with amplitude two.]

Per esempio l'insieme di punti
[For example, the set of points]

{G(a=7,b=2,...),H(a=8,b=2,...),I(a=7,b=3,...),J(a=8,b=3,...),K(a=7,b=2,c=1,...),
L(a=8,b=2,c=1,...),M(a=7,b=3,c=1,...),N(a=8,b=3,c=1,...)}

rappresenta un segmento di ampiezza otto; infatti si verifica la condizione di
concatenamento per tutte le possibili coppie di punti nell'insieme.
[represents a segment with amplitude eight; in fact for all the possible pairs
of points in the set the chaining condition occurs.]

ad(H,G) = 1
ad(I,G) = 1
ad(J,G) = 1
ad(K,G) = 1
ad(L,G) = 1
ad(M,G) = 1
ad(N,G) = 1
ad(I,H) = 1
ad(J,H) = 1
ad(K,H) = 1
ad(L,H) = 1
ad(M,H) = 1
ad(N,H) = 1
ad(J,I) = 1
ad(K,I) = 1
ad(L,I) = 1
ad(M,I) = 1
ad(N,I) = 1
ad(K,J) = 1
ad(L,J) = 1
ad(M,J) = 1
ad(N,J) = 1
ad(L,K) = 1
ad(M,K) = 1
ad(N,K) = 1
ad(M,L) = 1
ad(N,L) = 1
ad(N,M) = 1

I segmenti possono quindi assumere caratteristiche morfologiche.
[The segments can therefore assume morphological characteristics.]

L'insieme di punti
[The set of points]

{G,H,I,J,K,L,M,N,P(a=4,...),Q(a=6,b=1,...),R(a=5,...)}

rappresenta un segmento di ampiezza undici; infatti si verifica la condizione di
concatenamento per tutte le possibili coppie di punti nell'insieme.
[represents a segment with amplitude eleven; in fact for all the possible pairs
of points in the set the chaining condition occurs.]

ad(G,Q) = 1
ad(Q,R) = 1
ad(P,R) = 1

P non e` adiacente a G; ma fa parte dello stesso insieme il punto Q per il quale
si verifica la condizione di concatenamento con entrambi. Infatti Q non e`
adiacente a P, ma fa parte dello stesso insieme il punto R che e` adiacente ad
entrambi (cioe` per R si verifica con entrambi la condizione di concatenamento).
[P is not adjacent to G; but the point Q exists, in the same set, for which the
chaining condition occurs with both. In fact Q is not adjacent to P, but the
point R exists, in the same set, which is adjacent to both (that is, for R the
chaining condition occurs with both).]


A questo punto la domanda nel lettore puo` sorgere spontanea: "Chissa` questo
stupido dove vuole arrivare?"!